O retângulo de ouro é uma figura cujo lado maior mede φ vezes o lado menor, sendo φ o número de ouro. O seu interesse reside numa propriedade surpreendente: se lhe retirarmos um quadrado construído sobre o seu lado menor, o retângulo restante possui exatamente a mesma proporção que o primeiro. Esta autossemelhança atraiu geómetras, artistas e teóricos da estética. Na geometria sagrada moderna, o retângulo é apresentado como um módulo de composição privilegiado, mas a sua presença deve ser verificada através de dimensões reais e não por meio de uma moldura arbitrariamente sobreposta a uma fotografia.
| Forma | Retângulo com lados desiguais |
|---|---|
| Rácio | Comprimento / largura = φ |
| Valor | Aproximadamente 1,618 |
| Propriedade | Autossemelhança após a subtração de um quadrado |
| Utilização | Construção geométrica, design, teoria das proporções |
Como obter um retângulo de ouro com régua e compasso?
A partir de um quadrado, traça-se o segmento entre o ponto médio de um lado e um vértice oposto. O raio obtido permite prolongar o lado do quadrado para criar o lado maior do retângulo.
Este método clássico baseia-se no teorema de Pitágoras e conduz exatamente ao valor (1+√5)/2. A Wolfram MathWorld apresenta a construção euclidiana.
Por que razão um quadrado retirado deixa o mesmo retângulo?
Se os lados forem 1 e φ, retirar um quadrado de lado 1 deixa um retângulo com lados 1 e φ−1. Ora, φ−1 = 1/φ.
Após a rotação, as proporções da parte restante são, portanto, idênticas às do retângulo inicial. Este resultado explica por que razão é possível repetir a operação e obter uma sequência de retângulos sempre semelhantes.
Como é que o retângulo conduz a uma espiral?
Ao colocar quadrados sucessivos nos retângulos restantes, obtém-se uma sucessão de pontos que pertencem a uma espiral logarítmica particular.
A curva composta por arcos de um quarto de círculo, muito difundida nas ilustrações de geometria sagrada, é, contudo, apenas uma aproximação da espiral dourada exata. A diferença geométrica deve ser preservada.
Porque é necessário desconfiar dos retângulos dourados adicionados às fotografias?
As proporções de um edifício dependem dos limites exatos escolhidos para o medir. Escolher uma cornija em vez de um embasamento pode fazer surgir artificialmente um retângulo dourado.
O critério rigoroso não é a beleza de um traçado numa imagem, mas a presença comprovada de um projeto e de dimensões compatíveis com a proporção anunciada.
Em que se distingue o retângulo do número de ouro?
O número de ouro é um valor matemático. O retângulo é uma das suas realizações geométricas, particularmente adequada ao estudo da autossemelhança e da construção de espirais.
É, portanto, útil dedicar uma ficha a cada objeto: um exprime uma razão, o outro uma forma material que pode ser traçada e medida.
Fontes e referências históricas
Wolfram MathWorld, « Retângulo dourado » apresenta a construção e a propriedade de autossemelhança. « Espiral dourada » distingue a espiral exata das suas aproximações gráficas.
