O dodecaedro regular possui doze faces em forma de pentágonos, trinta arestas e vinte vértices. É o único dos cinco sólidos de Platão cujas faces são pentágonos regulares. No Timeu, Platão indica que uma quinta figura é utilizada pelo deus para o conjunto do cosmos e o seu ornamento. As tradições posteriores associaram esta figura ao céu e, mais tarde, ao éter, mas esta última correspondência não deve ser apresentada como uma citação direta de Platão.
| Faces | 12 pentágonos regulares |
|---|---|
| Arestas | 30 |
| Vértices | 20 |
| Dual | Icosaedro |
| Associação no Timeu | Figura do cosmos, distinta dos quatro elementos |
Porque é que o dodecaedro tem doze faces?
O dodecaedro regular é constituído por doze pentágonos iguais. Três pentágonos encontram-se em cada um dos seus vinte vértices.
A construção pertence ao livro XIII dos Elementos de Euclides. Depende de propriedades do pentágono que envolvem a divisão em extrema e média razão.
O que diz realmente o Timeu a esse respeito?
Depois de atribuir o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo aos quatro elementos, Platão menciona uma quinta construção utilizada pelo deus para o todo.
Esta formulação liga o dodecaedro à organização do cosmos. A ideia popular de que Platão o teria explicitamente designado como «elemento éter» nesta passagem simplifica uma história filosófica mais complexa.
Porque é que os pentágonos fazem surgir φ?
Num pentágono regular, a razão entre uma diagonal e um lado é igual ao número de ouro. As doze faces do dodecaedro envolvem, portanto, esta proporção na geometria do sólido.
Esta relação explica a sua presença nos estudos renascentistas das proporções e nas representações geométricas dos poliedros regulares.
Porque é que o dodecaedro e o icosaedro andam juntos?
O icosaedro possui vinte faces e doze vértices; o dodecaedro possui doze faces e vinte vértices. Os centros das faces de um formam os vértices do outro.
Esta dualidade exata une duas formas visualmente muito diferentes e revela uma ordem comum por detrás das suas proporções.
Porque se torna o dodecaedro um símbolo do céu?
A referência cósmica do Timeu alimentou séculos de comentários. Os autores do Renascimento representam o dodecaedro entre as figuras que tornam visível a harmonia da criação.
A geometria sagrada contemporânea associa-o frequentemente ao éter, ao quinto elemento ou à totalidade do cosmos. Estas interpretações pertencem a uma história da receção que importa distinguir do próprio texto platónico.
Fontes e referências históricas
Platão, Timeu, 53c–55c, tradução acessível através do Internet Classics Archive. Euclides, Elementos, livro XIII detalha as construções dos sólidos regulares; Wolfram MathWorld, «Platonic Solid» apresenta as suas características matemáticas.
