Il rettangolo aureo è una figura il cui lato maggiore misura φ volte quello minore, dove φ è il numero aureo. Il suo interesse risiede in una proprietà sorprendente: se si rimuove un quadrato costruito sul lato minore, il rettangolo rimanente conserva esattamente la stessa proporzione del primo. Questa autosimilarità ha attirato l’attenzione di geometri, artisti e teorici dell’estetica. Nella geometria sacra moderna, il rettangolo viene presentato come un modulo compositivo privilegiato, ma la sua presenza deve essere verificata mediante dimensioni reali e non tramite una cornice sovrapposta arbitrariamente a una fotografia.
| Forma | Rettangolo con lati disuguali |
|---|---|
| Rapporto | Lunghezza / larghezza = φ |
| Valore | Circa 1,618 |
| Proprietà | Autosimilarità dopo la sottrazione di un quadrato |
| Uso | Costruzione geometrica, design, teoria delle proporzioni |
Come ottenere un rettangolo aureo con riga e compasso?
A partire da un quadrato, si traccia il segmento tra il punto medio di un lato e un vertice opposto. Il raggio ottenuto permette di prolungare il lato del quadrato per creare il lato maggiore del rettangolo.
Questo metodo classico si basa sul teorema di Pitagora e conduce esattamente al valore (1+√5)/2. Wolfram MathWorld ne fornisce la costruzione euclidea.
Perché un quadrato rimosso lascia lo stesso rettangolo?
Se i lati sono 1 e φ, togliere un quadrato di lato 1 lascia un rettangolo con lati 1 e φ−1. Ora φ−1 = 1/φ.
Dopo la rotazione, le proporzioni del rettangolo rimanente sono quindi identiche a quelle del rettangolo iniziale. Questo risultato spiega perché si può ripetere l’operazione e ottenere una successione di rettangoli sempre simili.
Come conduce il rettangolo a una spirale?
Collocando quadrati successivi nei rettangoli rimanenti, si ottiene una successione di punti che appartengono a una particolare spirale logaritmica.
La curva formata da archi di quarto di cerchio, molto diffusa nelle illustrazioni di geometria sacra, è tuttavia soltanto un’approssimazione della spirale aurea esatta. La differenza geometrica merita di essere preservata.
Perché bisogna diffidare dei rettangoli aurei aggiunti alle fotografie?
Le proporzioni di un edificio dipendono dai limiti esatti scelti per misurarlo. Scegliere una cornice invece di uno zoccolo può far apparire artificialmente un rettangolo aureo.
Il criterio rigoroso non è la bellezza di un disegno in un’immagine, ma la presenza documentata di un progetto e di dimensioni compatibili con la proporzione dichiarata.
In che modo il rettangolo si distingue dalla sezione aurea?
La sezione aurea è un valore matematico. Il rettangolo ne è una realizzazione geometrica tra le altre, particolarmente adatta allo studio dell’autosimilarità e della costruzione delle spirali.
È quindi utile dedicare una scheda a ciascun oggetto: l’uno esprime un rapporto, l’altro una forma materiale che si può tracciare e misurare.
Fonti e riferimenti storici
Wolfram MathWorld, « Rettangolo aureo » presenta la costruzione e la proprietà di autosimilarità. « Spirale aurea » distingue la spirale esatta dalle sue approssimazioni grafiche.
