De gulden rechthoek is een figuur waarvan de lange zijde φ keer zo lang is als de korte zijde, waarbij φ het gulden getal is. Het belang ervan berust op een opmerkelijke eigenschap: als men er een vierkant uit wegneemt dat op de korte zijde is geconstrueerd, heeft de overblijvende rechthoek exact dezelfde verhouding als de oorspronkelijke. Deze zelfgelijkvormigheid heeft meetkundigen, kunstenaars en esthetiektheoretici aangetrokken. In de moderne heilige geometrie wordt de rechthoek gepresenteerd als een bevoorrechte compositiemodule, maar de aanwezigheid ervan moet worden gecontroleerd aan de hand van werkelijke afmetingen en niet met een willekeurig over een foto gelegd kader.
| Vorm | Rechthoek met ongelijke zijden |
|---|---|
| Verhouding | Lengte / breedte = φ |
| Waarde | Ongeveer 1,618 |
| Eigenschap | Zelfgelijkvormigheid na het aftrekken van een vierkant |
| Gebruik | Geometrische constructie, design, proportietheorie |
Hoe construeer je met passer en liniaal een gulden rechthoek?
Vanuit een vierkant trekken we een lijnstuk tussen het midden van een zijde en een tegenoverliggende hoek. Met de verkregen straal kan de zijde van het vierkant worden verlengd om de lange zijde van de rechthoek te creëren.
Deze klassieke methode berust op de stelling van Pythagoras en leidt exact tot de waarde (1+√5)/2. Wolfram MathWorld geeft de euclidische constructie.
Waarom laat het verwijderen van een vierkant dezelfde rechthoek achter?
Als de zijden 1 en φ zijn, laat het wegnemen van een vierkant met zijde 1 een rechthoek met zijden 1 en φ−1 achter. Nu geldt φ−1 = 1/φ.
Na rotatie zijn de verhoudingen van het resterende deel dus identiek aan die van de oorspronkelijke rechthoek. Dit resultaat verklaart waarom men de bewerking kan herhalen en een reeks steeds gelijkvormige rechthoeken kan verkrijgen.
Hoe leidt de rechthoek tot een spiraal?
Door opeenvolgende vierkanten in de overgebleven rechthoeken te plaatsen, ontstaat een opeenvolging van punten die tot een bijzondere logaritmische spiraal behoren.
De curve die uit kwartcirkelbogen bestaat en veel voorkomt in illustraties van heilige geometrie, is echter slechts een benadering van de exacte gouden spiraal. Het meetkundige verschil moet behouden blijven.
Waarom moeten we ons hoeden voor gouden rechthoeken die op foto's zijn aangebracht?
De verhoudingen van een gebouw hangen af van de exacte grenzen die voor de meting worden gekozen. Door een kroonlijst in plaats van een plint te kiezen, kan er kunstmatig een gouden rechthoek ontstaan.
Het strikte criterium is niet de schoonheid van een tekening op een afbeelding, maar de aantoonbare aanwezigheid van een ontwerp en afmetingen die overeenkomen met de aangekondigde verhouding.
Waarin verschilt de rechthoek van de gulden snede?
De gulden snede is een wiskundige waarde. De rechthoek is een van de vele meetkundige realisaties ervan en is bijzonder geschikt voor de studie van zelfgelijkheid en de constructie van spiralen.
Het is daarom nuttig om aan elk object een afzonderlijk artikel te wijden: het ene drukt een verhouding uit, het andere een materiële vorm die kan worden getekend en gemeten.
Bronnen en historische aanknopingspunten
Wolfram MathWorld, « Gouden rechthoek » beschrijft de constructie en de eigenschap van zelfgelijkheid. « Gouden spiraal » maakt onderscheid tussen de exacte spiraal en de grafische benaderingen ervan.
