El rectángulo áureo es una figura cuyo lado largo mide φ veces el corto, donde φ es el número áureo. Su interés reside en una propiedad sorprendente: si se le quita un cuadrado construido sobre su lado corto, el rectángulo restante posee exactamente la misma proporción que el primero. Esta autosimilitud ha atraído a geómetras, artistas y teóricos de la estética. En la geometría sagrada moderna, el rectángulo se presenta como un módulo de composición privilegiado, pero su presencia debe verificarse mediante dimensiones reales y no mediante un marco superpuesto arbitrariamente a una fotografía.
| Forma | Rectángulo de lados desiguales |
|---|---|
| Relación | Longitud / anchura = φ |
| Valor | Aproximadamente 1,618 |
| Propiedad | Autosimilitud después de sustraer un cuadrado |
| Uso | Construcción geométrica, diseño, teoría de las proporciones |
¿Cómo obtener un rectángulo áureo con regla y compás?
A partir de un cuadrado, se traza el segmento entre el punto medio de un lado y un vértice opuesto. El radio obtenido permite prolongar el lado del cuadrado para crear el lado largo del rectángulo.
Este método clásico se basa en el teorema de Pitágoras y conduce exactamente al valor (1+√5)/2. Wolfram MathWorld ofrece la construcción euclidiana.
¿Por qué un cuadrado retirado deja el mismo rectángulo?
Si los lados miden 1 y φ, quitar un cuadrado de lado 1 deja un rectángulo de lados 1 y φ−1. Ahora bien, φ−1 = 1/φ.
Después de la rotación, las proporciones del resto son, por tanto, idénticas a las del rectángulo inicial. Este resultado explica por qué se puede repetir la operación y obtener una sucesión de rectángulos siempre semejantes.
¿Cómo conduce el rectángulo a una espiral?
Al colocar cuadrados sucesivos en los rectángulos restantes, se obtiene una sucesión de puntos que pertenecen a una espiral logarítmica particular.
La curva formada por arcos de un cuarto de circunferencia, muy extendida en las ilustraciones de geometría sagrada, no deja de ser una aproximación de la espiral áurea exacta. Conviene conservar la diferencia geométrica.
¿Por qué hay que desconfiar de los rectángulos áureos añadidos a las fotografías?
Las proporciones de un edificio dependen de los límites exactos que se elijan para medirlo. Elegir una cornisa en lugar de un basamento puede hacer que aparezca artificialmente un rectángulo áureo.
El criterio riguroso no es la belleza de un trazado en una imagen, sino la existencia documentada de un diseño y de dimensiones compatibles con la proporción anunciada.
¿En qué se diferencia el rectángulo del número áureo?
El número áureo es un valor matemático. El rectángulo es una de sus realizaciones geométricas, entre otras, especialmente adecuada para estudiar la autosimilitud y la construcción de espirales.
Por tanto, es útil dedicar una ficha a cada objeto: uno expresa una proporción y el otro, una forma material que se puede trazar y medir.
Fuentes y referencias históricas
Wolfram MathWorld, « Rectángulo áureo » presenta la construcción y la propiedad de autosimilitud. « Espiral áurea » distingue la espiral exacta de sus aproximaciones gráficas.
